%% Antes de processar este arquivo LaTeX (LaTeX2e) deve %% verificar que o arquivo TEMA.cls estah no mesmo %% diretorio. O arquivo TEMA.cls pode ser obtido do %% endereco www.sbmac.org.br/tema. \documentclass{TEMA} \usepackage[brazil]{babel} % para texto em Português %\usepackage[english]{babel} % para texto em Inglês \usepackage[latin1]{inputenc} % para acentuação em Português %\input{P-margin.inf} \usepackage[dvips]{graphics} \usepackage{subfigure} \usepackage{graphicx} %\usepackage{epsfig} \newcommand{\B}{{\tt\symbol{92}}} \newcommand{\til}{{\tt\symbol{126}}} \newcommand{\chap}{{\tt\symbol{94}}} \newcommand{\agud}{{\tt\symbol{13}}} \newcommand{\crav}{{\tt\symbol{18}}} \begin{document} %******************************************************** \title {Distribuição bivariada gama beta II: soma, produto e proporção das variáveis componentes} %\author %{A.P.M. SILVA% % \thanks{anapaula@ufsj.edu.br}\,, % Departamento de Ciências de Computação e Estatística, % IBILCE, % UNESP - Univ Estadual Paulista, 15054-000 São José do Rio Preto, SP, Brasil % \\ \\ % J.A. RODRIGUES% % \thanks{jailsondearaujo@yahoo.com.br}\,, % Departamento de Ciências Exatas, DEX - UFLA, % Campus Universitário, Cx.P. 3037, 37200-000 Lavras, MG, Brasil % \\ \\ % L.M. CHAVES% % \thanks{lucas@dex.ufla.br}\,, % Departamento de Ciências Exatas, DEX - UFLA, % Campus Universitário, Cx.P. 3037, 37200-000 Lavras, MG, Brasil.} \criartitulo \runningheads {}{} \begin{abstract} {\bf Resumo}. Os modelos bivariados tem sido utilizados com sucesso na análise de processos hidrológicos. Neste trabalho, são deduzidas as distribuições exatas das variáveis $U = X + Y$, $P = XY$ e $Q = X/(X + Y)$ juntamente com seus respectivos momentos quando $X$ e $Y$ seguem o modelo bivariado gama beta II. Essas funções descrevem importantes variáveis hidrológicas. Os resultados obtidos são aplicados em dados de precipitações pluviométricas ocorridas na cidade de Passo Fundo - RS. {\bf Palavras-chave}. Distribuição gama beta II, Combinação de variáveis aleatórias, Precipitação pluviométrica. \end{abstract} %******************************************************** \newsec{Introdução} Motivados pelo crescente uso principalmente na análise de dados não normais, vários modelos bivariados podem ser encontrados na literatura \cite{balak}. Os trabalhos desenvolvidos por \cite{iz} impulsionaram o uso da distribuição gama bivariada na análise de processos hidrológicos, sendo atualmente um dos mais utilizados. Por exemplo, \cite{y} estuda a aplicabilidade da distribuição gama bivariada de Smith na análise de frequência das variáveis hidrológicas duração e volume; \cite{y1} apresentam uma revisão de vários modelos gama, com diferentes parâmetros de escala e forma, apontando as vantagens e desvantagens de cada modelo no estudo de precipitação; \cite{ng} estudam o comportamento de dados de seca do Estado de Nebraska considerando a distribuição gama bivariada de Cherian e \cite{ng1} realizam o mesmo estudo com a distribuição exponencial bivariada de Friday e Patil ; \cite{nadar_2007} aplica um modelo bivariado gama exponencial na modelagem de dados de seca. Considerando que $X$ e $Y$ se distribuem segundo um modelo bivariado, funções dessas variáveis aleatórias, expressas por $U=X+Y$, $P=XY$ e $Q=X/(X+Y)$, têm um significado físico importante de modo que diferentes autores têm trabalhado no sentido de caracterizar essas distribuições e aplicá-las em diferentes áreas do conhecimento, em particular em hidrologia \cite{n2005,nk,gn,n2008} . Por exemplo, se $X$ representa o período de chuva e $Y$ o período contíguo sem ocorrência de chuva, $U=X+Y$ denota o período climático e $Q=X/(X+Y)$ a proporção de chuva. Neste contexto, o trabalho têm por objetivo apresentar a distribuição bivariada Gama Beta tipo II e deduzir a distribuição exata das variáveis $U=X+Y$, $P=XY$ e $Q=X/(X+Y)$ sob a pressuposição de que $X$ e $Y$ seguem esse modelo. Como aplicação é realizado o ajuste dessas distribuições a dados de precipitação pluviométrica do município de Passo Fundo, RS. \subsection{Distribuições beta} \textbf{Distribuição beta tipo I}: Uma variável aleatória $X$ tem distribuição beta tipo I com parâmetros $\alpha>0$ e $\beta>0$ quando sua função densidade de probabilidade (fdp) é da forma: \begin{equation}\label{beta1} \displaystyle f\left(x\right)=\frac{x^{\alpha-1}\left(1-x\right)^{\beta-1}}{B\left(\alpha,\beta\right)} \end{equation} em que $00$, $\beta>0$ e $\lambda>0$ quando sua função densidade de probabilidade (fdp) é da forma: \begin{equation}\label{beta2} \displaystyle f\left(x\right)=\displaystyle \frac{{\lambda ^\beta }}{{{\rm B}\left( {\alpha ,\beta } \right)}}x^{\alpha - 1} \left( {\lambda + x} \right)^{ - \left( {\alpha + \beta } \right)} \end{equation} em que $x>0$. Neste caso, escreve-se simbolicamente $X\sim BII(\alpha,\beta)$. As duas distribuições beta estão relacionadas intrinsecamente por meio de uma transformação. Várias características referentes aos dois modelos podem ser encontradas em \cite{beals,j}. Além da fun\c c\~ao beta, os c\'alculos envolvidos no trabalho incluem o uso de outras fun\c c\~oes especiais como a fun\c c\~ao gama, \begin{equation}\label{e1} \Gamma (a)=\displaystyle \int\limits _0^\infty t^{\alpha -1}\exp (-t)dt \end{equation} a função psi, \begin{equation}\label{psi} \displaystyle \psi \left( \alpha \right) = \frac{d}{{d\alpha }}\left[ {\ln \Gamma \left( \alpha \right)} \right]. \end{equation} a função hipergeométrica confluente, \begin{equation}\label{hip} {}_1F_1 \left( {a;b;x} \right)=\displaystyle \frac{{\Gamma \left( b \right)}}{{\Gamma \left( {b - a} \right)\Gamma \left( a \right)}}\int\limits_0^1 {t^{a - 1} \left( {1 - t} \right)^{b - a - 1} \exp \left( { - xt} \right)dt}, \end{equation} com $00$, \[\displaystyle\int\limits_0^a {x^{\alpha - 1} \left( {a - x} \right)^{\beta - 1} \exp \left( { - px} \right)dx} = {\rm B}\left( {\alpha ,\beta } \right)a^{\alpha + \beta - 1} {}_1F_1 \left( {\alpha ;\alpha + \beta ; - ap} \right). \] \end{lemaTEMA} \begin{lemaTEMA}\label{lema1} \textit{(Equação 2.3.15.1, \cite{pru})}. Se $\alpha>0$ e $\beta>0$, \[ \displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}\exp\left(-rx^{2}-qx\right)dx=\Gamma(\alpha)(2r)^{-\alpha/2}\exp\left(\frac{q^{2}}{8r}\right) D_{-\alpha}\left(\frac{q}{\sqrt{2r}}\right). \] \end{lemaTEMA} \newsec{O modelo} A distribuição bivariada gama beta tipo II tem função densidade de probabilidade (fdp) conjunta dada por: \begin{equation}\label{gamabeta} f\left( {x,y} \right) = \displaystyle Kx^{\alpha - 1} y^{\beta - 1} \exp \left[ { - \left( {ax + cxy} \right)} \right] \end{equation} com $x>0$, $y>0$, $a>0$, $c>0$, $0<\beta<\alpha$ e $K$ é a constante de normalização definida por $$K =\displaystyle \frac{{c^\beta a^{\alpha - \beta } }}{{\Gamma \left( \beta \right)\Gamma \left( {\alpha - \beta } \right)}}.$$ Esse modelo pertence à família gama bivariada de Arnould (ver \cite{balak}) e com essa parametrização ainda não foi abordado na literatura. Para verificar que \ref{gamabeta} corresponde a uma legítma fdp é preciso mostrar que: \[ \displaystyle\int\limits_0^\infty {\int\limits_0^\infty {f\left( {x,y} \right)dxdy} = 1} \] De fato, \begin{eqnarray*} \displaystyle \int\limits_0^\infty {\int\limits_0^\infty {f\left( {x,y} \right)dxdy}} &=& K\int\limits_0^\infty {\int\limits_0^\infty {x^{\alpha - 1} y^{\beta - 1} \exp \left[ { - \left( {ax + cxy} \right)} \right]dydx} }\\ %&=& K\int\limits_0^\infty {x^{\alpha - 1} \exp \left( { - ax} \right)\left[ {\int\limits_0^\infty {y^{\beta - 1} \exp \left( { - cxy} \right)dy} } \right]} dx \\ &=&\displaystyle K\frac{{\Gamma \left( \beta \right)}}{{c^\beta }}\int\limits_0^\infty {x^{\alpha - \beta - 1} \exp \left( { - ax} \right)} dx \\ &=& \displaystyle K\frac{{\Gamma \left( \beta \right)}}{{c^\beta }}\frac{{\Gamma \left( {\alpha - \beta } \right)}}{{a^{\alpha - \beta } }}=1. \end{eqnarray*} As fdps marginais de $X$ e $Y$ são respectivamente: \begin{eqnarray} f \left( x \right) &=& \int\limits_0^\infty {f\left( {x,y} \right)dy} = \int\limits_0^\infty {Kx^{\alpha - 1} y^{\beta - 1} \exp \left[ { - \left( {ax + cxy} \right)} \right]} \,dy\nonumber\\ %&=& Kx^{\alpha - 1} \exp \left( { - ax} \right)\int\limits_0^\infty {y^{\beta - 1} \exp } \,\left( { - cxy} \right)dy\nonumber\\ &=& \frac{{a^{\alpha - \beta } }}{{\Gamma \left( {\alpha - \beta } \right)}}x^{\alpha - \beta - 1} \exp \left( { - ax} \right)\label{fxGB} \end{eqnarray} %e \begin{eqnarray} f \left( y \right) &=& \displaystyle\int\limits_0^\infty {f\left( {x,y} \right)dx} = \int\limits_0^\infty {Kx^{\alpha - 1} y^{\beta - 1} \exp \left[ { - \left( {ax + cxy} \right)} \right]} \,dx\nonumber\\ &=& \displaystyle \frac{{c^\beta a^{\alpha - \beta } \Gamma \left( \alpha \right)}}{{\Gamma \left( \beta \right)\Gamma \left( {\alpha - \beta } \right)}}y^{\beta - 1} \left[ {c\left( {\frac{a}{c} + y} \right)} \right]^{ - \alpha }\nonumber\\ &=& \displaystyle \frac{{\left( {{\raise0.7ex\hbox{$a$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {a c}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$c$}}} \right)^{\alpha - \beta } }}{{{\rm B}\left( {\beta ,\alpha - \beta } \right)}}y^{\beta - 1} \left( {\frac{a}{c}+ y} \right)^{ - \alpha }.\label{fyGB} \end{eqnarray} Portanto, $X \sim G\left( {\alpha - \beta ,a} \right)\,$ e $\,Y \sim {\rm{BII}}\left( {\beta ,\alpha - \beta ,{\raise0.7ex\hbox{$a$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {a c}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$c$}}} \right)$. \subsection{Funções Densidade de Probabilidade} Nos teoremas \ref{teorema1}, \ref{t2} e \ref{t3} são deduzidas as fdps das variáveis $U=X+Y$, $P=XY$ e $Q=X/(X+Y)$ quando $X$ e $Y$ seguem o modelo (\ref{gamabeta}). \begin{teoTEMA}\label{teorema1} Se $X$ e $Y$ são distribuídas conjuntamente de acordo com o (\ref{gamabeta}) e se $\alpha\geq2$ e $\beta\geq2$ são inteiros, então: \begin{eqnarray*} f\left( u \right)\hspace{-.2cm} &=&\hspace{-.2cm} \displaystyle Ku^{\alpha + \beta - 1}\exp \left\{ { - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\} \sum\limits_{m = 0}^{\alpha - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{\beta - 1} {\sum\limits_{j = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ j \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {\beta - 1} \\ n \\ \end{array}} \right)} } \left( {\begin{array}{*{20}c} {\alpha - 1} \\ m \\ \end{array}} \right)}\times\\ & &\frac{{\theta ^{\alpha + n - \left( {m + j + 1} \right)} }}{{m + j + 1}}\left[ { \theta ^{m + j - 1} \,{}_1F_1 \left( {\frac{{m + j + 1}}{2};\frac{{m + j + 3}}{2};cu^2 \theta ^2 } \right) + } \right.\\ & &\left. { \,\left( {1 - \theta } \right)^{m + j - 1} \,{}_1F_1 \left( {\frac{{m + j + 1}}{2};\frac{{m + j + 3}}{2};cu^2 \left( {1 - \theta } \right)^2 } \right)} \right] \end{eqnarray*} para $0\leq\theta\leq1$ e \begin{eqnarray*} f\left( u \right)\hspace{-.2cm} &=&\hspace{-.2cm} \displaystyle Ku^{\alpha + \beta - 1}\exp \left\{ { - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\} \sum\limits_{m = 0}^{\alpha - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{\beta - 1} {\sum\limits_{j = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ j \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {\beta - 1} \\ n \\ \end{array}} \right)} } \left( {\begin{array}{*{20}c} {\alpha - 1} \\ m \\ \end{array}} \right)}\times\\ & &\frac{{\theta ^{\alpha + n - \left( {m + j + 1} \right)} }}{{m + j + 1}}\left[ {\left(1- \theta\right) ^{m + j - 1} \,{}_1F_1 \left( {\frac{{m + j + 1}}{2};\frac{{m + j + 3}}{2};cu^2 \left(1- \theta\right) ^2 } \right) - } \right.\\ & &\left. { \theta ^{m + j - 1} \,{}_1F_1 \left( {\frac{{m + j + 1}}{2};\frac{{m + j + 3}}{2};cu^2 \theta ^2 } \right)} \right] \end{eqnarray*} para $\theta>1$, em que $u>0$ e $\theta=(a-cu)/(2cu)$. \end{teoTEMA} \begin{proof} Sob a mudança de variáveis $\left(U,Q\right)=\left(X+Y,X/(X+Y)\right)$ o Jacobiano da transformação é dado por \vspace{0.2cm} \begin{equation} J=\left| \begin{array}{cc} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial u}{\partial y} \\ \\ \displaystyle\frac{\partial q}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial q}{\partial y} \\ \end{array} \right|=\left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ \\ \displaystyle\frac{y}{(x+y)^{2}} &\displaystyle -\frac{x}{(x+y)^{2}} \\ \end{array} \right|=\displaystyle -\frac{1}{x+y} \end{equation} Assim, a fdp conjunta de $\left(U,Q\right)=\left(X+Y,X/(X+Y)\right)$ é dada por \begin{eqnarray} \displaystyle f(u,q)&=&f_{X,Y}\left(uq,u(1-q)\right)\times|J|^{-1}\nonumber\\ &=& Ku^{\alpha + \beta - 1} q^{\alpha - 1} \left( {1 - q} \right)^{\beta - 1} \exp \left\{ { - {auq - cu^2 q\left( {1 - q} \right)} } \right\}\nonumber\\ &=&Ku^{\alpha + \beta - 1} q^{\alpha - 1} \left( {1 - q} \right)^{\beta - 1} \exp\left\{ { - \left( {a + cu} \right)uq + cu^2 q^2 } \right\} \nonumber\\ &=&Ku^{\alpha + \beta - 1} q^{\alpha - 1} \left( {1 - q} \right)^{\beta - 1}\exp \left\{ {cu^2 \left( {q - \theta } \right)^2 - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\}\label{UQGB} \end{eqnarray} Se $0\leq\theta\leq1$ então a fdp de $U$ é dada por: \begin{eqnarray*} f\left( u \right) &=& \displaystyle Ku^{\alpha + \beta - 1} \int\limits_0^1 {q^{\alpha - 1} \left( {1 - q} \right)^{\beta - 1}\exp \left\{ {cu^2 \left( {q - \theta } \right)^2 - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\}}dq\\ &=&\displaystyle Ku^{\alpha + \beta - 1}\exp \left\{ { - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\} \int\limits_0^1 {q^{\alpha - 1} \left( {1 - q} \right)^{\beta - 1}\exp \left\{ {cu^2 \left( {q - \theta } \right)^2 } \right\}}dq\\ \end{eqnarray*} Fazendo $y=\left({w-\theta}\right)^2$ temos: \begin{eqnarray*} f\left ( u \right)\hspace{-.2cm}&=&\hspace{-.2cm} \displaystyle 2^{-1}Ku^{\alpha + \beta - 1}\exp \left\{ { - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\} \left( {\int\limits_0^{\,\,\,\,\,\theta ^2 } { + \int\limits_0^{\left( {1 - \theta } \right)^2 } {} } } \right)\left( {\sqrt y + \theta } \right)^{\alpha - 1}\times\\ & &\left( {1 - \sqrt y - \theta } \right)^{\beta - 1} \exp \left\{ {cu^2 y} \right\}y^{ - 1/2} dy\\ \hspace{-1cm}&=&\hspace{-.3cm}\displaystyle 2^{-1}Ku^{\alpha + \beta - 1}\exp \left\{ { - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\}\hspace{-.2cm} \left( {\int\limits_0^{\,\,\,\,\,\theta ^2 } { + \int\limits_0^{\left( {1 - \theta } \right)^2 } {} } } \right)\sum\limits_{m = 0}^{\alpha - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}c} \hspace{-.2cm}{\alpha - 1}\hspace{-.2cm} \\ \hspace{-.2cm} m \hspace{-.2cm} \\ \end{array}} \right)\left( {\sqrt y } \right)^m \theta ^{\alpha - m - 1} }\times\\ & & \sum\limits_{n = 0}^{\beta - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}c} {\beta - 1} \\ n \\ \end{array}} \right)\left( {\sqrt y + \theta } \right)^n } \exp \left\{ {cu^2 y} \right\}y^{ - 1/2} dy\\ %&=&\displaystyle 2^{-1}Ku^{\alpha + \beta - 1}\exp \left\{ { - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\} \times \\ %& &\left( {\int\limits_0^{\,\,\,\,\,\theta ^2 } { + \int\limits_0^{\left( {1 - \theta } \right)^2 } {} } } \right)\sum\limits_{m = 0}^{\alpha - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}c} % {\alpha - 1} \\ % m \\ %\end{array}} \right)y^{m/2} \theta ^{\alpha - m - 1} } \sum\limits_{n = 0}^{\beta - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}c} % {\beta - 1} \\ % n \\ %\end{array}} \right)\sum\limits_{j = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c} % n \\ % j \\ %\end{array}} \right)y^{j/2} \theta ^{n - j} } } \exp \left\{ {cu^2 y} \right\}y^{ - 1/2} dy\\ &=&\hspace{-.3cm}\displaystyle 2^{-1}Ku^{\alpha + \beta - 1}\exp \left\{ { - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\} \sum\limits_{m = 0}^{\alpha - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{\beta - 1} {\sum\limits_{j = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ j \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {\beta - 1} \\ n \\ \end{array}} \right)} } \left( {\begin{array}{*{20}c} {\alpha - 1} \\ m \\ \end{array}} \right)} \times\\ & &\frac{{\theta ^{\alpha + n - \left( {m + j + 1} \right)} }}{{m + j + 1}}\left( {\int\limits_0^{\,\,\,\,\,\theta ^2 } { + \int\limits_0^{\left( {1 - \theta } \right)^2 } {} } } \right)y^{\frac{m+j-1}{2}}\exp \left\{ {cu^2 y} \right\}dy\\ \end{eqnarray*} Aplicando o lema (\ref{prud1}) à integral acima, obtém-se: \begin{eqnarray*} f\left( u \right)\hspace{-.2cm} &=&\hspace{-.2cm} \displaystyle Ku^{\alpha + \beta - 1}\exp \left\{ { - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\} \sum\limits_{m = 0}^{\alpha - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{\beta - 1} {\sum\limits_{j = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ j \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {\beta - 1} \\ n \\ \end{array}} \right)} } \left( {\begin{array}{*{20}c} {\alpha - 1} \\ m \\ \end{array}} \right)}\times\\ & &\frac{{\theta ^{\alpha + n - \left( {m + j + 1} \right)} }}{{m + j + 1}}\left[ { \theta ^{m + j - 1} \,{}_1F_1 \left( {\frac{{m + j + 1}}{2};\frac{{m + j + 3}}{2};cu^2 \theta ^{m + j - 1} } \right) + } \right.\\ & &\left. { \,\left( {1 - \theta } \right)^{m + j - 1} \,{}_1F_1 \left( {\frac{{m + j + 1}}{2};\frac{{m + j + 3}}{2};cu^2 \left( {1 - \theta } \right)^{m + j - 1} } \right)} \right] \end{eqnarray*} O resultado para $\theta>1$ é obtido similarmente. \end{proof} \begin{teoTEMA}\label{t2} Se $X$ e $Y$ são distribuídas conjuntamente de acordo com (\ref{gamabeta}), então: \vspace{-.3cm} \begin{eqnarray*} f\left( q \right) &=& Kq^{\alpha - 1} \left( {1 - q} \right)^{\beta - 1} \Gamma \left( {\alpha + \beta } \right)\left[ {2cq\left( {1 - q} \right)} \right]^{ - \frac{{\alpha + \beta }}{2}} \exp \left[ {\frac{{\left( {aq} \right)^2 }}{{8cq\left( {1 - q} \right)}}} \right]\times \\ &&D_{ - \left( {\alpha + \beta } \right)} \left( {\frac{{aq}}{{\sqrt {2cq\left( {1 - q} \right)} }}} \right), \end{eqnarray*} em que $00$. \end{teoTEMA} \begin{proof} Sob a mudança de variáveis $\left(X,P\right)=\left(X,XY\right)$ o Jacobiano da transformação é dado por \begin{equation} J=\left| \begin{array}{cc} \displaystyle \frac{\partial x}{\partial x} &\displaystyle \frac{\partial x}{\partial y} \\ \\ \displaystyle \frac{\partial p}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial p}{\partial y} \\ \end{array} \right|=\left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \\ y & x \\ \end{array} \right|=x \end{equation} Assim, a fdp conjunta de $\left(X,P\right)$ é dada por \begin{eqnarray} \displaystyle f_{X,P}(x,p)&=&f_{X,Y}\left(x,\frac{p}{x}\right)\times|J|^{-1}\nonumber\\ &=&\displaystyle Kx^{\alpha - \beta - 1} p^{\beta - 1} \exp \left[ { - \left( {ax + cp} \right)} \right]. \end{eqnarray} Deste modo, a fdp de $P$ é \begin{eqnarray} f \left( p \right) &=&\displaystyle \int\limits_0^\infty {Kx^{\alpha - \beta - 1} p^{\beta - 1} \exp \left[ { - \left( {ax + cp} \right)} \right]dx}\nonumber\\ & =& Kp^{\beta - 1} \exp \left( { - cp} \right)\int\limits_0^\infty {x^{\alpha - \beta - 1} \exp \left( { - ax} \right)dx}\nonumber\\ &=& \frac{{c^\beta }}{{\Gamma \left( \beta \right)}}p^{\beta - 1} \exp \left( { - cp} \right).\nonumber \end{eqnarray} \end{proof} \subsection{Momentos} Nesta seção são deduzidos os momentos das variáveis $U=X+Y$ e $P=XY$ quando $X$ e $Y$ seguem o modelo gama beta II. Para isso, precisamos do seguinte lema. \begin{lemaTEMA}\label{lemaGB} Se $X$ e $Y$ têm distribuição conjunta dada pelo modelo (\ref{gamabeta}), então: \begin{eqnarray*} E\left[ {X^n Y^m } \right]=\displaystyle \frac{{a^{m - n} \,\Gamma \left( {\beta + m} \right)\Gamma \left( {\alpha + n - \beta - m} \right)}}{{c^m \Gamma \left( \beta \right)\Gamma \left( {\alpha - \beta } \right)}} \end{eqnarray*} para os inteiros $n\geq 1$ e $1\leq m \leq n$. \end{lemaTEMA} \begin{proof} Sob o modelo (\ref{gamabeta}), tem-se que: \begin{eqnarray*} E\left[ {X^n Y^m } \right] &=&\displaystyle \int\limits_0^\infty {\int\limits_0^\infty {x^n y^m f\left( {x,y} \right)dydx} }\\ &=&\displaystyle \int\limits_0^\infty {\int\limits_0^\infty {Kx^{\alpha + n - 1} y^{\beta + m - 1} \exp \left[ { - \left( {ax + cxy} \right)} \right]} \,dydx} \\ &=&\displaystyle K\int\limits_0^\infty {x^{\alpha + n - 1} \exp \left( { - ax} \right)\left[ {\int\limits_0^\infty {y^{\beta + m - 1} \exp \left( { - cxy} \right)} \,dy} \right]dx}\\ &=&\displaystyle K\int\limits_0^\infty {x^{\alpha + n - 1} \exp \left( { - ax} \right)\frac{{\Gamma \left( {\beta + m} \right)}}{{\left( {cx} \right)^{\beta + m} }}dx}\\ %&=&\displaystyle \frac{{K\Gamma \left( {\beta + m} \right)}}{{c\,^{\beta + m} }} \cdot \frac{{\Gamma \left( {\alpha + n - \beta - m} \right)}}{{a^{\alpha + n - \beta - m} }}\\ &=&\displaystyle \frac{{a^{m - n} \,\Gamma \left( {\beta + m} \right)\Gamma \left( {\alpha + n - \beta - m} \right)}}{{c^m \Gamma \left( \beta \right)\Gamma \left( {\alpha - \beta } \right)}}\hspace{0.5cm} {\rm{com}}\,\,\, m\leq n. \end{eqnarray*} \end{proof} Em particular, para $n=m=1$ obtém-se: \begin{eqnarray*} E\left[ {X Y } \right]&=&\displaystyle \frac{{\Gamma \left( {\beta + 1} \right)\Gamma \left( {\alpha - \beta } \right)}}{{c\,\Gamma \left( \beta \right)\Gamma \left( {\alpha - \beta } \right)}}=\displaystyle \frac{\beta}{c}. \end{eqnarray*} \begin{teoTEMA}\label{TGB} Se $X$ e $Y$ são distribuídas conjuntamente de acordo com (\ref{gamabeta}) então: \begin{eqnarray*} E\left[ {U^n } \right] =\displaystyle \sum\limits_{j = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ j \\ \end{array}} \right)\frac{{a^n \,\Gamma \left( {\beta + n - j} \right)\Gamma \left( {\alpha + 2j - \beta } \right)}}{{c^{n - j\,} \Gamma \left( \beta \right)\Gamma \left( {\alpha - \beta } \right)}}} \end{eqnarray*} para todo inteiro $n\geq 1$. \end{teoTEMA} \begin{proof} Tem-se que: \begin{equation} E\left[ {U^n } \right] = \displaystyle E\left[ {\left( {X + Y} \right)^n } \right] = \sum\limits_{j = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ j \\ \end{array}} \right)E\left[ {X^j Y^{n - j} } \right].} \end{equation} O resultado segue da aplicação do lema (\ref{lemaGB}). \end{proof} \begin{teoTEMA}\label{TGB2} Se $X$ e $Y$ são distribuídas conjuntamente de acordo com (\ref{gamabeta}) então: \begin{eqnarray*} E\left[ {P^n } \right] =\displaystyle \frac{{\Gamma \left( {\beta + n} \right)}}{{c^{n\,} \Gamma \left( \beta \right)}} \end{eqnarray*} para todo inteiro $n\geq 1$. \end{teoTEMA} \begin{proof} É dado que: $E\left[ {P^n } \right] = E\left[ {\left( {XY} \right)^n } \right] = E\left[ {X^n Y^n } \right]$. O resultado segue da aplicação do lema (\ref{lemaGB}) para $m=n$. \end{proof} \subsection{Estimação} Seja $\left( {x_1 ,y_1 } \right),\left( {x_2 ,y_2 } \right), \ldots ,\left( {x_n ,y_n } \right)$ uma amostra aleatória da variável aleatória $(X,Y)$ com distribuição conjunta expressa por (\ref{gamabeta}). A função de verossimilhança é: \begin{eqnarray} L &=&\displaystyle \prod\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i ,y_i } \right)} = \prod\limits_{i = 1}^n {Kx_i^{\alpha - 1} y_i^{\beta - 1} \exp \left[ { - \left( {ax_i + cx_i y_i } \right)} \right]}\nonumber\\ &=&\displaystyle K^n \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {x_i^{\alpha - 1} y_i^{\beta - 1} } \right)\exp \left[ { - \left( {a\sum\limits_{i = 1}^n {x_i } + c\sum\limits_{i = 1}^n {x_i y_i } } \right)} \right].}\label{Ver} \end{eqnarray} Tomando o logaritmo da função de verossimilhança obtém-se: \begin{equation}\nonumber \ln \left( L \right) =\displaystyle n\ln \left( K \right) + \left( {\alpha - 1} \right)\hspace{-.1cm}\sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left( {x_i } \right)} + \left( {\beta - 1} \right)\sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left( {y_i } \right)} - a\sum\limits_{i = 1}^n {x_i } - c\sum\limits_{i = 1}^n {x_i } y_i. \end{equation} Assim, \begin{eqnarray} \frac{{\partial \ln \left( L \right)}}{{\partial a}} &=& \displaystyle \frac{{n\left( {\alpha - \beta } \right)}}{a} - \sum\limits_{i = 1}^n {x_i };\nonumber\\ \frac{{\partial \ln \left( L \right)}}{{\partial c}} &=& \displaystyle\frac{{n\beta }}{c} - \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } y_i;\nonumber\\ \frac{{\partial \ln \left( L \right)}}{{\partial \alpha }} &=&\displaystyle n\ln \left( a \right) - n\psi \left( {\alpha - \beta } \right) + \sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left( {x_i } \right);}\nonumber\\ \frac{{\partial \ln \left( L \right)}}{{\partial \beta }} &=& n\ln \left( c \right) - n\ln \left( a \right) - n\psi \left( \beta \right) + n\psi \left( {\alpha - \beta } \right) + \sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left( {y_i } \right),}\nonumber \end{eqnarray} em que $\psi(\cdot)$ denota a função psi definida em (\ref{psi}). Os estimadores de máxima verossimilhança dos parâmetros $a$, $c$, $\alpha$ e $\beta$, são as soluções do sistema de equações: \[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\hspace{-5.2cm}\displaystyle\frac{{n\left( {\hat \alpha - \hat \beta } \right)}}{{\hat a}} - \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } = 0} \\ {\hspace{-6.2cm}\displaystyle\frac{{n\hat \beta }}{{\hat c}} - \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } y_i = 0} \\ {\hspace{-3.1cm}\displaystyle n\ln \left( {\hat a} \right) - n\psi \left( {\hat \alpha - \hat \beta } \right) + \sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left( {x_i } \right)} = 0} \\ {\displaystyle n\ln \left( {\hat c} \right) - n\ln \left( {\hat a} \right) - n\psi \left( {\hat \beta } \right) + n\psi \left( {\hat \alpha - \hat \beta } \right) + \sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left( {y_i } \right)} = 0} \\ \end{array}} \right. \] A solução do sistema de equações de máxima verossimilhança pode ser obtida numericamente através de um software de computação algébrica. \newsec{Aplicação} Nesta seção é feita uma aplicação do modelo na análise de dados de precipitações pluviométricas ocorridas na cidade de Passo Fundo, Estado do Rio Grande do Sul. Os dados explorados correspondem a medições diárias de precipitação pluviométrica (mm) no período de Julho de 2009 a Julho de 2011, totalizando 730 observações. Os dados foram coletados pelo Laboratório de Meteorologia Aplicada à Agricultura da Embrapa Trigo, Passo Fundo - RS, (latitude: $28^\circ 15' 46''$ S; longitude: $52^\circ 24' 24''$ W; altitude: $684$m) e encontram-se disponíveis livremente para download no endereço eletrônico http://www.cnpt.embrapa.br/pesquisa/agromet. Utilizando as medições do \'{\i}ndice pluviométrico, obtém-se os dados sobre per\'{\i}odo de dias com ocorrência de precipitações $(X)$ e per\'{\i}odo cont\'{\i}guo de dias sem ocorrência de precipitação $(Y)$. O objetivo é modelar as variáveis $X$, $Y$ e o período climático $U$. O período climático indica um ciclo climático, formado pela soma dos dias sem chuva com os dias contíguos com chuva, essa quantidade também indica o retorno do período de chuva. O ajuste das distribuições foi feito via Método da Máxima Verossimilhança. Se $\left(x_{1},y_{1}\right),\ldots , \left(x_{n},y_{n}\right)$ é uma amostra aleatória de (\ref{gamabeta}), as estimativas dos parâmetros do modelo são: $\hat{\alpha}=3.391$, $\hat{\beta}=1.284$, $\hat{a}=0.865$ e $\hat{c}=0.190$. As fdps ajustadas de $X$, $Y$ e $U$ e os respectivos gráficos de probabilidades observadas versus probabilidades esperadas, são apresentadas nas figuras \ref{fig1}, \ref{fig2} e \ref{fig3}. \begin{figure}[h] \centering % \subfigure[fdp ajustada de $X$]{\scalebox{1}{\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{MAXGB.eps}} } % \hspace{1cm} % \subfigure[p-pplot para a variável $X$]{\scalebox{1}{\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{PPXGB.eps}} } % \vspace{-.4cm} \caption{ Ajuste da fdp e respectivo gráfico de probabilidades para o período com ocorrência de precipitação } % \label{fig1} \end{figure} \begin{figure}[h] \centering % \subfigure[fdp ajustada de $Y$]{\scalebox{1}{\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{MAYGB.eps}} } % \hspace{1cm} % \subfigure[p-pplot para a variável $Y$]{\scalebox{1}{\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{PPYGB.eps}} } % \vspace{-.4cm} \caption{Ajuste da fdp e respectivo gráfico de probabilidades para o período sem ocorrência de precipitação } % \label{fig2} \end{figure} \begin{figure}[h] \centering % \subfigure[fdp ajustada de $U$]{\scalebox{1}{\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{UAGB.eps}} } % \hspace{1cm} % \subfigure[p-pplot para a variável $U$]{\scalebox{1}{\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{PPUGB.eps}} } % \vspace{-.4cm} \caption{Ajuste da fdp e respectivo gráfico de probabilidades para o período climático} % \label{fig3} \end{figure} Os gráficos das distribuições ajustadas e de probabilidade, figuras \ref{fig1}, \ref{fig2} e \ref{fig3}, sugerem um bom ajuste para as variáveis período de chuva $(X)$, período sem ocorrência de chuva $(Y)$ e período climático $(U)$, pelo gama beta tipo II. Deste modo temos que o modelo bivariado gama beta II apresenta-se como uma alternativa na análise de dados de precipitação pluviométrica. \newsec{Conclusões} Considerando que $X$ e $Y$ seguem o modelo bivariado gama beta II, foi possível deduzir as distribuições exatas e os momentos das variáveis aleatórias $U = X +Y$, $P = XY$ e $Q = Y=(X +Y)$ utilizando funções especiais. A aplicação do modelo na análise de dados de precipitações ocorridas na cidade de Passo Fundo do Estado do Rio Grande do Sul apresentou resultados satisfatórios, levando-se em consideração que os critérios gráficos de qualidade de ajuste indicaram uma boa adequação do modelo aos dados observados. \begin{abstract} {\bf Abstract}. Bivariate gamma distributions have been used successfully on modeling hydrological processes. In this work, supposing that $X$ and $Y$ follow the Crovelli's bivariate gamma model, we deduce the exact distributions of the functions $U=X+Y$, $P=XY$ and $Q=X/(X+Y)$, as well as their respective moments. Those functions describe important hidrological variables. \end{abstract} \begin{thebibliography}{8} %\bibitem{CLBG} C.S.Q. Caldas, J. Limaco, R.K. Barreto, P. Gamboa, About the %Benjamin-Bona-Mahony equation in domains with moving boundary, %{\em TEMA - Tend. Mat. Apl. Comput.}, {\bf 8}, No. 3 (2007), 329--339. \bibitem{iz}IZAWA, T. Two or multi-dimensional gamma-type distribution and its application to rainnfall data. {\em Meteorological Research Institute},{\bf 15}, (1965), 167--200. \bibitem{balak} BALAKRISHNAN, N.; LAI, C. D. "Continuous bivariate distributions". Ottawa: Springer Vergland, 2009. 684 \bibitem{beals} BEALS, R.; WONG, R. ``Special functions". New York: Cambridge University, 2010. \bibitem{gn} GUPTA, A. K.; NADARAJAH, S. 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