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\begin{document}

%********************************************************
\title{
     Construção de superfícies suaves com continuidade geométrica %${{G}^{1}}$   % \\ 
     %de Trabalhos para TEMA%
		 %\thanks{}
}

\author{
     %XXXXXXXXX%
     %\thanks{Autor correpondente: XXXXXXXXXXX - E-mail: XXXXXXX@XXXXX.XXXX.},
     %\thanks{XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX,
     %XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX, 
     %XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXx.}
     %\\ \\
     %XXXXXXXXXXXXXXX%
    % \thanks{XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXx
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    % XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxx.}
}

\criartitulo

\runningheads{Autor}%
{Cosntrução de superfícies suaves ${{G}^{1}}$}

\begin{abstract}

{\bf Resumo}. No uso dos métodos numéricos, principalmente referente ao método dos elementos de contorno, a construção de superfície suave é um dos requisitos importantes para a modelagem computacional de sólidos. Adicionalmente aos métodos numéricos, muitos outros campos de aplicação, tais como, na animação computacional e na reconstrução de imagens médica tem se utilizado da continuidade geométrica ${{G}^{1}}$ como condição fundamental para a geração de superfícies suaves. No presente trabalho é utilizada a técnica de construção de geometria a partir das curvas do contorno. Diferentemente das construções clássicas das funções aproximadoras ${{C}^{0}}$, a presente construção ${{G}^{1}}$ faz uso dos vetores normais nos vértices da malha triangular, além de suas coordenadas geométricas. No entanto, a obtenção destes dados de entrada, especialmente os vetores normais, não são de imediata obtenção para geométricas complexas. Com o intuito de contornar esta dificuldade, o presente trabalho desenvolveu um código computacional para construção de superfícies suaves acoplado com o software de computação gráfica ${{Blender}^{TM}}$. Desta forma, a implementação computacional tanto para a criação dos elementos triangulares com continuidade geométrica quanto para a obtenção das informações iniciais, via ${{Blender}^{TM}}$, é explicitada e sua eficiência é comprovada por meio de modelagem de geometrias paramétricas e não paramétricas de complexidade variada.

{\bf Palavras-chave}. Continuidade ${{G}^{1}}$, elemento triangular, software ${{Blender}^{TM}}$, geometria complexa.

\end{abstract}


%********************************************************
\section{Introdução}

   Para modelagem das mais diversas geometrias, que vão desde a carenagem de automóveis ou fuselagem de aviões a objetos presentes em filmes de animação ou jogos interativos, a construção de superfícies suaves é uma das principais exigências. 
		
Em \cite{Farin1983} é apresentado um algoritmo para interpolação suave em dados 3D usando superfície composta. Esta composição de superfície é obtida a partir da subdivisão e subsequente correção de cada elemento, tanto dentro quanto através dos contornos. Isso significa que uma correção é executada para cada lado na triangularização, o que não é desejável quando as superfícies são ajustadas a um grande conjunto de dados de entrada. Em \cite{Piper1987} o método de \cite{Farin1983} foi modificado, entretanto, ainda eram necessárias as correções para cada lado na triangularização. Já em \cite{DeRose1992}, superfície cubica ${{G}^{1}}$ aproximada é criada, mas para alcançar a suavidade desejada são necessários sucessivos refinamentos na triangularização. Dando continuidade ao método de subdivisão de triangulo, \cite{Shirman1987} propõem o terço do comprimento da borda do elemento como sendo o valor a ser adotado para a distância entre o vértice e o ponto de Bézier adjacente. Ainda neste trabalho, \cite{Shirman1987} realizaram a implementação e a análise de quatro tipos diferentes de contornos.

Na sequência, \cite{Walton1995} reconstroem superfícies usando curvas de contorno (não necessariamente planas) aplicadas à técnica de interpolação ponto-normal. Estas curvas de contorno propostas por \cite{Walton1995}, as quais são inicialmente cúbica, são elevadas para ordem quatro a partir da obtenção de pontos internos adicionais aos, já existentes, pontos de controle da curva cúbica. A posição destes pontos adicionais é realizada de forma natural e mais intuitiva do que a posição heurísticas proposta por \cite{Shirman1987}. Semelhante ao realizado por diversos outros autores, \cite{Walton1996} desenvolvem um elemento que possui, na interseção, mesmo plano tangente. Para tanto, se faz necessário estimar os valores dos vetores normais aos vértices da triangularização. Com o objetivo de estimar estes valore \cite{Walton1996} utilizaram a média normalizada dos vetores normais aos triângulos que contém o vértice. Outros métodos para a determinação  do vetor normal nos vértices da triangularização foram propostos, tais como, a técnica para estimar os vetores tangentes de\cite{Walton1993} e a proposta de \cite{Shirman1987} em que o valor da normal nos vértices da malha triangular é estimado a partir da média ponderada das normais que se encontram em um mesmo vértice. Nesta média, os pesos são proporcionais as áreas dos triângulos ou aos ângulos que se encontram nos vértices.  
	
    No presente trabalho é apresentado um procedimento de construção de superfícies suaves a partir da interpolação ponto-normal. Neste procedimento, os dados de entrada, coordenadas geométricas e os vetores normais nos vértices dos triângulos da malha, são obtidos com auxílio do software de computação gráfica ${{Blender}^{Tm}}$ que é acoplado ao programa de geração de superfícies suaves desenvolvido em FORTRAN 11.0.
		
    Este trabalho está organizado da seguinte forma. No item $2$ são apresentados os fundamentos teóricos sobre superfícies de Bézier e continuidade geométrica, assim como, sobre a formulação para construção se superfícies ${{G}^{1}}$. No item $3$ é apresentado o procedimento para construção de superfícies suaves. No item $4$, o algoritmo para obtenção de vetores normais via ${{Blender}^{Tm}}$ 2.70 é apresentado. Em seguida, no item $5$, é aplicada a técnica de construção de superfícies suaves, acoplada ao ${{Blender}^{Tm}}$, para geometrias paramétricas (esfera e toroide) e não paramétrica (cabeça). Ainda neste item é realizada a análise da continuidade do plano tangente e da representatividade geométrica para a função aproximadora ${{G}^{1}}$ proposta. Por fim, no item $6$ são realizadas as considerações finais.
		
		
%*************************
\section{Formulação para criação de superfícies suaves}
Nesta seção são apresentados os fundamentos básicos necessários para a construção de superfícies, assim como é mostrado a formulação teórica dos elementos triangulares com continuidade geométrica ${{G}^{1}}$.

\subsection{Superfícies de Bézier}

\label{SB}A abordagem mais elegante e matematicamente mais natural de construir elementos triangulares é por meio das coordenadas baricêntricas. Define-se as coordenadas baricêntricas $(u,v,w)$ de um ponto ${{p}_{k}}=\left( {{x}_{k}},{{y}_{k}} \right)$, com respeito a um triângulo de referência $\emph{T}$, pela razão entre áreas
\begin{equation} \label{SB.1}
	u=\frac{{{\Delta }_{1}}}{\Delta },\ v=\frac{{{\Delta }_{2}}}{\Delta },\ w=\frac{{{\Delta }_{3}}}{\Delta },
\end{equation}
de modo que $\textbf{p}=u\textbf{p}_{1}+v\textbf{p}_{2}+w\textbf{p}_{3}$ e $u+v+w=1$. Na equação (\ref{SB.1}), tem-se que $\Delta$ representa a área do triângulo de referência $\emph{T}$, e ${{\Delta }_{k}}$, com $k=1,2,3$, representam as áreas dos sub-triângulos do triangulo de referência, que são formados por dois vértices e um terceiro ponto interno de coordenada $(x,y)$.

A  partir da expansão de $1={{(u+v+w)}^{n}}$ é obtida, em duas variáveis, a base de Bernstein de grau $n$ definida para $0\le i,j,k\le n$ com $i+j+k=n$, por \cite{Marsh2005} %\cite{Farin1990}
\begin{equation} \label{BS02}
	B_{ijk}^{n}\left( u,v,w \right)=\frac{n!}{i!j!k!}{{u}^{i}}{{v}^{j}}{{w}^{k}}.
\end{equation}
Existem $\frac{1}{2}\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)$ funções base linearmente independente. Desta forma é obtido um mapeamento do domínio paramétrico $\emph{T}$ para ${{\Re }^{3}}$ por meio do elemento triangular de Bézier-bernstein definido por \cite{Bezier1993}
\begin{equation} \label{BS03}
	\textbf{S}\left( u,v,w \right)=\sum\limits_{\left| \textbf{i} \right|}{{{\textbf{p}}_{ijk}}B_{ijk}^{n}\left( u,v,w \right)}\ \ 0\le i,j,k\le n,
\end{equation}
com ${{\textbf{p}}_{ijk}}$ são pontos de controle e $\left| \textbf{i} \right|=i+j+k=n$.

\subsection{Continuidade geométrica}

A condição de continuidade de função (assim como a de coplanaridade para o caso de superfícies) não implica em continuidade dos planos tangentes nas interseções destas funções. Desta forma, a garantia da existência de suavidade na interseção entre elementos (funções) está associada a continuidade geométrica, a qual está intrinsecamente relacionada ao conceito de parametrização equivalente. 

Seja $C\left( u \right)$, com $u\in \left[ a,b \right]$, e $\tilde{C}\left( {\tilde{u}} \right)$ com $\tilde{u}\in \left[ \tilde{a},\tilde{b} \right]$, duas parametrizações regulares ${{C}^{\infty }}$ (uma parametrização é regular se sua primeira derivada existe). Essas parametrizações são ditas equivalentes, isto é, descrevem a mesma curva orientada, se existe uma função ${{C}^{\infty }}$ $f:\left[ \tilde{a},\tilde{b} \right]\to \left[ a,b \right]$ tal que \cite{Marsh2005}
\begin{enumerate}
	\item $\tilde{C}\left( {\tilde{u}} \right)=C\left( f\left( {\tilde{u}} \right) \right)$;
	\item $f\left( {\tilde{a}} \right)=a$;
	\item $f\left( {\tilde{b}} \right)=b$;
	\item $\frac{df\left( {\tilde{u}} \right)}{d\tilde{u}}>0$ 
\end{enumerate}

A definição de parametrização equivalente para superfícies pode ser obtida de forma semelhante à definição para curvas, apenas acrescentando um novo parâmetro $\tilde{v}$ e considerando a função de mudança, $f$, com dois parâmetros em seu domínio.

A partir do conceito de parametrização equivalente, define-se a continuidade geométrica: \textit{duas superfícies regulares} ${{\textbf{S}}_{1}}\left( s,t \right)$ \textit{e} ${{\textbf{S}}_{2}}\left( u,v \right)$  \textit{são ditas interceptarem com continuidade} ${{G}^{k}}$ \textit{no ponto} $\textbf{P}={{\textbf{S}}_{1}}\left( {{s}_{0}},{{t}_{0}} \right)={{\textbf{S}}_{2}}\left( {{u}_{0}},{{v}_{0}} \right)$ \textit{sempre que existe um mapeamento invertível (chamado de reparametrização)} $f:\left[ \tilde{u},\tilde{v} \right]\to \left[ u\left( \tilde{u},\tilde{v} \right),v\left( \tilde{u},\tilde{v} \right) \right]$ \textit{tal que} ${{\textbf{S}}_{1}}\left( s,t \right)$ \textbf{e} ${{\textbf{S}}_{2}}\left( u\left( \tilde{u},\tilde{v} \right),v\left( \tilde{u},\tilde{v} \right) \right)$ \textit{se interceptam com continuidade} ${{C}^{k}}$ \textit{no ponto} $P$\textit{. Duas superfícies são ditas se interceptarem com continuidade} ${{G}^{k}}$  \textit{ao longo de uma curva se elas se interceptam com continuidade} ${{G}^{k}}$ \textit{em cada ponto da curva.}

Portanto, quando duas superfícies se interceptam com continuidade ${{G}^{1}}$ em todo ponto $\textbf{P}$, as superfícies apresentam normais proporcionais e, como consequência, o mesmo plano tangente na região de interseção das superfícies. O inverso também é verdadeiro, se duas superfícies se interceptam no ponto $\textbf{P}$ e tem normais à superfície proporcionais neste ponto, então as superfícies se interceptam com continuidade ${{G}^{1}}$ \cite{Loop1994}.


\subsection{Técnica para construção de elementos ${{\textbf{G}}^{\textbf{1}}}$}

A ideia chave do presente algoritmo é transformar malhas inicialmente constituída por triângulos planos em malhas formadas por triângulos curvos, ou seja, o vetor posição (ou coordenada geométrica) ${{\textbf{Q}}_{i}}$ e o vetor normal ${{\textbf{N}}_{i}}$ nos vértices dos triângulos planos são interpolados pela superfície paramétrica triangular de Bézier dada pela equação (\ref{BS02}). 

A partir da teoria de curvas (ver \cite{Farin1983}) é possível escrever tanto a curva de Bézier de ordem 3 quanto o seu vetor tangente pelas seguintes equações, respectivamente:
\begin{equation} \label{BS05}
	{{\textbf{C}}_{k}}(t)=\sum\limits_{i=0}^{3}{{{\textbf{V}}_{k,i}}{{B}_{i,3}}(t)},\ \ 0\le t\le 1,\ \ k=0,\ 1,\ 2,
\end{equation}
 \begin{equation} \label{BS06}
	 \frac{d}{dt}{{\textbf{C}}_{k}}(t)=3\sum\limits_{i=0}^{2}{{{\textbf{W}}_{k,i}}{{B}_{i,2}}(t)},\ \ 0\le t\le 1,\ \ k=0,\ 1,\ 2,
 \end{equation}
com ${{\textbf{V}}_{k,0}}={{\textbf{Q}}_{k}}$, ${{\textbf{V}}_{k,3}}={{\textbf{Q}}_{k+1}}$ e os demais vértices de controle ${{\textbf{V}}_{k,i}}$ $\left( i=1,~2 \right)$ determinados mais adiante pelo teorema 1. Quanto ao termo ${{\textbf{W}}_{k,i}}$ da equação (\ref{BS06}) é dado por ${{\textbf{W}}_{k,i}}=\Delta {{\textbf{V}}_{k,i}}={{\textbf{V}}_{k,i+1}}-{{\textbf{V}}_{k,i}}$ $i=0,~1~e~2$. Tanto os vértices de controle ${{\textbf{V}}_{k,i}}$ quanto os vetores ${{\textbf{W}}_{k,i}}$ são ilustrados na figura \ref{figura03}. 
\begin{figure}[h]
	\centering
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\resizebox{0.40\textwidth}{!}{\input{figura03.pdf_tex}
}
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\caption{\label{figura03} Curvas de contorno de ordem 3.} 
\end{figure}

A utilização de curvas de ordem 3 é motivada pelo fato de que esta ordem é a menor a ser considerada para a construção de curvas polinomiais não coplanares \cite{Walton1996}. E o fato de criar superfícies quárticas, a partir das curvas de contorno cúbica, é justificada pelo fato desta ordem ser a menor para a construção de superfícies triangulares de Bézier (ou de Gregory) com continuidade ${{G}^{1}}$ \cite{Piper1987}. Assim, de acordo com a equação (\ref{BS03}), pode ser escrita a superfícies de interesse, em coordenadas baricêntricas, da seguinte forma:
\begin{eqnarray} \label{BS07}
   \nonumber
   \textbf{S}\left( u,v,w \right)=\sum\limits_{i+j+k=4}{{{\textbf{p}}_{ijk}}\frac{4!}{i!j!k!}{{u}^{i}}{{v}^{j}}{{w}^{k}}}, \\ 
  u,v,w\ge 0;\ \ u+v+w=1;\ \ i,j,k\ge 0
\end{eqnarray}
com $${{\textbf{p}}_{004}}={{\textbf{Q}}_{0}},\ \ {{\textbf{p}}_{040}}={{\textbf{Q}}_{1}},\ \ {{\textbf{p}}_{400}}={{\textbf{Q}}_{2}}.$$

	Ao contrário das curvas de \cite{Deboor1987} ou das curvas de ordem quártica proposta por \cite{Hansford1994}, as curvas utilizadas neste trabalho, assim como as desenvolvidas em \cite{Walton1996}, não são restritas às planares. A estratégia, utilizada neste trabalho para a construção dos elementos triangulares ${{G}^{1}}$, é dependente do ajuste das curvas cúbicas de Bézier entre os pares de pontos amostrados que, em seguida, é elevado o grau dessas curvas para quártica e então usado a informação dessas curvas para desenvolver a superfície composta por elementos de Gregory de ordem quatro.
	As relações entre os vértices de controle de Bézier com os pontos normais interpolantes são dadas pelo teorema que segue. Este teorema foi provado em \cite{Walton1993} e é utilizado para determinar os termos ${{V}_{k,i}}$, $i=1 \ e \ 2$, presentes na equação (\ref{BS05}).
	
	\begin{teoTEMA}
	\label{teo1}
	%\emph{\textbf{Teorema 2}: 
	Seja a curva de contorno cúbica dada por ${{\textbf{C}}_{k}}\left( t \right)$. Considere, ainda, por definição os seguintes parâmetros ${{\textbf{d}}_{k}}=\left\| {{\textbf{V}}_{k,3}}-{{\textbf{V}}_{k,0}} \right\|$, ${{\Gamma }_{k}}={\left\| {{\textbf{V}}_{k,3}}-{{\textbf{V}}_{k,0}} \right\|}/{{{\textbf{d}}_{i}}}\;$, ${{a}_{k}}={{\textbf{N}}_{k}}\cdot {{\textbf{N}}_{k+1}}$, ${{a}_{k,0}}={{\textbf{N}}_{k}}\cdot {{\Gamma }_{k}}$ e ${{a}_{k,1}}={{\textbf{N}}_{k+1}}\cdot {{\Gamma }_{k}}$. Assume que se ${{a}_{k,0}}=0$ e ${{a}_{k,1}}\ne 0$ (ou se ${{a}_{k,0}}\ne 0$ e ${{a}_{k,1}}=0$) então ${{a}_{k}}>0$. Desta forma, a curva cúbica de Bézier (equação \ref{BS05}) fica descrita por
\[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{\textbf{V}}_{k,0}}={{\textbf{Q}}_{k}},  \\
   {{\textbf{V}}_{k,3}}={{\textbf{Q}}_{k+1}},  \\
   {{\textbf{V}}_{k,1}}={{{\textbf{V}}_{k,0}}+{{\textbf{d}}_{k}}\left( 6{{\Gamma }_{k}}-2{{\varsigma }_{k}}{{\textbf{N}}_{k}}+{{\vartheta }_{k}}{{\textbf{N}}_{k+1}} \right)}/{18}\;,  \\
   {{\textbf{V}}_{k,2}}={{{\textbf{V}}_{k,3}}-{{\textbf{d}}_{k}}\left( 6{{\Gamma }_{k}}+{{\varsigma }_{k}}{{\textbf{N}}_{k}}-2{{\vartheta }_{k}}{{\textbf{N}}_{k+1}} \right)}/{18}\;,  \\
\end{array}\]
com
\[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{\varsigma }_{k}}=6\left( 2{{a}_{k,0}}+{{a}_{k}}{{a}_{k,1}} \right)/\left( 4-a_{k}^{2} \right),  \\
   {{\vartheta }_{k}}={6\left( 2{{a}_{k,1}}+{{a}_{k}}{{a}_{k,0}} \right)}/{\left( 4-a_{k}^{2} \right),}\;  \\
\end{array}\]
une ${{\textbf{Q}}_{k}}$ a ${{\textbf{Q}}_{k+1}}$ e as direções de suas normais principais são paralelas a ${{\textbf{N}}_{k}}$ em $t=0$ e paralela a ${{\textbf{N}}_{k+1}}$ em $t=1$.
\end{teoTEMA}

Como mencionado anteriormente, quaisquer dois ou mais elementos adjacentes são unidos com continuidade G$^{1}$ se tiverem tanto um plano tangente quanto uma curva de contorno em comum. Uma abordagem utilizada por diversos autores \cite{Farin1983,Piper1987,Shirman1987,Chiyokura1986,Loop1994} para a composição de elementos de superfícies G$^{1}$ é idealizar faixas tangentes ao longo de cada curva de contorno e então construir o elemento de superfície de tal forma que as derivadas que cruzam as curvas de contorno estejam nas direções $(1,\ -1/2,\ -1/2)$, $(-1/2,\ -1/2,\ 1)$ e $(-1/2,\ 1,\ -1/2)$. Em coordenadas baricêntricas, esta faixa tangente é formada pela derivada direcional fornecida pelo vetor
\begin{equation}  \label{BS08}
	{{\textbf{F}}_{k}}\left( t \right)=\sum\limits_{i=0}^{3}{{{\textbf{D}}_{k,i}}{{B}_{i,3}}\left( t \right)},\ \ \ k=0,1,2,\ \ 0\le t\le 1,
\end{equation}
com
\begin{equation} \label{BS09}
	{{\textbf{D}}_{0,i}}={{\textbf{P}}_{1,i,3-i}}-\frac{1}{2}\left( {{\textbf{P}}_{0,i+1,3-i}}-{{\textbf{P}}_{0,i,4-i}} \right),
\end{equation}
\begin{equation}  \label{BS10}
	{{\textbf{D}}_{1,i}}={{\textbf{P}}_{i,3-i,1}}-\frac{1}{2}\left( {{\textbf{P}}_{i+1,3-i,0}}-{{\textbf{P}}_{i,4-i,0}} \right),
\end{equation}
\begin{equation} \label{BS11}
	{{\textbf{D}}_{2,i}}={{\textbf{P}}_{3-i,1,i}}-\frac{1}{2}\left( {{\textbf{P}}_{3-i,0,i+1}}-{{\textbf{P}}_{4-i,0,i}} \right).
\end{equation}

Assim como utilizado por \cite{Walton1996}, o presente trabalho também utiliza a ideia de faixas tangentes, entretanto, ao invés de utilizar os vetores tangente e binormal da estrutura de Frenet para gerar tais faixas, foram usados o vetor tangente (ver equação \ref{BS06}) e o vetor
\begin{equation} \label{BS12}
	{{\textbf{H}}_{k}}\left( t \right)=\sum\limits_{k=0}^{2}{{{A}_{k,j}}{{B}_{j,2}}\left( t \right)},\ \ \ \ 0\le t\le 1,\ \ k=0,1,2
\end{equation}	
em que
\begin{equation}  \label{BS13}
	\begin{array}{*{35}{l}}
		{{A}_{k,0}}={{N}_{k}}\times \frac{{{W}_{k,0}}}{\left\| {{W}_{k,0}} \right\|},  \\
		{{A}_{k,2}}={{N}_{k+1}}\times \frac{{{W}_{k,2}}}{\left\| {{W}_{k,2}} \right\|},  \\
		{{A}_{k,1}}=\frac{{{A}_{k,0}}+{{A}_{k,2}}}{\left\| {{A}_{k,0}}+{{A}_{k,2}} \right\|}.  \\
	\end{array}
\end{equation}

Na figura \ref{figura04} é mostrado a construção das faixas tangentes a partir dos vetores tangente, $d\textbf{C}\left( t \right)/dt$, e do vetor ${{\textbf{H}}_{k}}$ definido na equação (\ref{BS12}).
\begin{figure}[h]
	\centering
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%}
\def\svgwidth{\linewidth}
\resizebox{0.60\textwidth}{!}{\input{figura04.pdf_tex}
				}
%\input{figura04.pdf_tex}
\caption{\label{figura04} Faixa gerada pelo vetor tangente $d\textbf{C}\left( t \right)/dt$ e o pelo vetor ${{\textbf{H}}_{k}}$.} 
\end{figure}

A partir da derivada direcional, acima descrita, é possível construir elementos triangulares com o uso das superfícies de Gregory \cite{Chiyokura1986}. Os pontos de controle das curvas de contorno quártica $\textbf{C}\left( t \right)$ (grau elevado a partir da cúbica) são usados como pontos das bordas do elemento triangular. Para o elemento de Bézier, os pontos de controle internos adjacentes à borda, por exemplo ${{\textbf{P}}_{1,1,2}}$ e ${{\textbf{P}}_{1,2,1}}$ com respeito ao contorno entre ${{\textbf{Q}}_{0}}$ e ${{\textbf{Q}}_{1}}$, podem ser obtidos a partir da imposição da restrição de continuidade tangente através de suas bordas. Isto implica que cada ponto de controle interno é determinado duas vezes, geralmente com posições distintas, uma vez para cada contorno com o qual está associado (ver figura \ref{figura05}). Chiyokura \cite{Chiyokura1986} resolve esta situação, conforme Gregory \cite{Gregory1974}, com o uso de uma combinação entre as duas posições de tal forma que assegure continuidade do plano tangente na interface entre os elementos triangulares de Bézier. Com o uso dos pontos de controle de Gregory, é possível escrever os pontos internos de forma única e que satisfaçam a continuidade desejada por meio das relações
\begin{equation} \label{BS14}
	{{\textbf{P}}_{1,1,2}}=\frac{1}{u+v}\left( u{{\textbf{G}}_{2,2}}+v{{\textbf{G}}_{0,1}} \right),
\end{equation}
\begin{equation} \label{BS15}
	{{\textbf{P}}_{1,2,1}}=\frac{1}{w+u}\left( w{{\textbf{G}}_{0,2}}+u{{\textbf{G}}_{1,1}} \right),
\end{equation}
\begin{equation} \label{BS16}
	{{\textbf{P}}_{2,1,1}}=\frac{1}{v+w}\left( v{{\textbf{G}}_{1,2}}+w{{\textbf{G}}_{2,1}} \right).
\end{equation}
\begin{figure}[h]
	\centering
%\scalebox{0.7}{\input{figura05.pdf_tex}}
%\resizebox{75mm}{!}{\input{figura04.pdf_tex}}
\resizebox{0.40\textwidth}{!}{\input{figura05.pdf_tex}
}
%\def\svgwidth{\linewidth}
%\input{figura04.pdf_tex}
\caption{\label{figura05} Pontos de controle de Gregory.} 
\end{figure}

Os pontos ${{\textbf{G}}_{k,1}}$ e ${{\textbf{G}}_{k,2}}$, com $k=0,\ 1,\ 2$, mostrados na figura \ref{figura05}, são determinados a partir da restrição de que as derivadas direcionais, que cruzam cada contorno, pertençam à faixa tangente (ver figura \ref{figura04}) construída para cada contorno correspondente, isto é, 
\begin{equation} \label{BS17}
	{{\textbf{F}}_{k}}\left( t \right)=\frac{1}{3}{{\alpha }_{k}}\left( t \right)\frac{d}{dt}\textbf{C}\left( t \right)+{{\beta }_{k}}\left( t \right){{H}_{k}}\left( t \right),\ \ \ \ k=0,\ 1,\ 2
\end{equation}
na qual ${{\alpha }_{k}}\left( t \right)$ e ${{\beta }_{k}}\left( t \right)$ são polinômios em $t$, ${{\textbf{F} }_{k}}\left( t \right)$ é definido pela equação (\ref{BS08}) com os valores dos ${{\textbf{P}}_{ijk}}$ das equações (\ref{BS09}-\ref{BS11}) substituídos pelos valores apropriados das equações (\ref{BS14}-\ref{BS16}) e os vetores $\frac{d}{dt}\textbf{C}\left( t \right)$ e $\textbf{H}_{k}$ são dados pelas equações (\ref{BS06}) e (\ref{BS12}), respectivamente. 

Uma vez que ${{\textbf{F}}_{k}}\left( t \right)$ é cúbica (ver equação \ref{BS08}) e tanto $\frac{d}{dt}{{\textbf{C}}_{k}}\left( t \right)$ quanto ${{\textbf{H}}_{k}}\left( t \right)$ são quadrática (ver equações \ref{BS06} e \ref{BS12}, respectivamente), faz-se necessário compatibilizar a ordem das funções escrita na equação (\ref{BS17}) por adotar ordem um (linear) para ${{\alpha }_{k}}\left( t \right)$ e ${{\beta }_{k}}\left( t \right)$ da seguinte forma
\begin{equation}  \label{BS18}
\begin{array}{*{35}{l}}
   {{\alpha }_{k}}\left( t \right)={{\lambda }_{k,0}}{{B}_{0,1}}\left( t \right)+{{\lambda }_{k,1}}{{B}_{1,1}}\left( t \right),  \\
   {{\beta }_{k}}\left( t \right)={{\mu }_{k,0}}{{B}_{0,1}}\left( t \right)+{{\mu }_{k,1}}{{B}_{1,1}}\left( t \right),  \\
\end{array}	
\end{equation}
com $0\le t\le 1$, $i=0,1,2$.

Decorre das equações (\ref{BS06}, \ref{BS07}, \ref{BS12} e \ref{BS18}) que a equação (\ref{BS17}) pode ser escrita como
\begin{equation} \label{BS19}
	\begin{array}{*{35}{r}}
   \sum\limits_{j=0}^{3}{{{\textbf{D}}_{k,j}}{{B}_{j,3}}\left( t \right)}=\sum\limits_{j=0}^{1}{{{\lambda }_{1,j}}{{B}_{j,3}}\left( t \right)}\sum\limits_{j=0}^{2}{{{\textbf{W}}_{k,j}}{{B}_{j,2}}\left( t \right)}+  \\
   \sum\limits_{j=0}^{1}{{{\mu }_{k,j}}{{B}_{j,1}}\left( t \right)}\sum\limits_{j=0}^{2}{{{\textbf{A}}_{k,j}}{{B}_{j,2}}\left( t \right)}  \\
\end{array}
\end{equation}
ou, com o uso da relação \cite{Marsh2005}%\cite{Farin1990}
\begin{equation} \label{BS20}
{{B}_{i,m}}\left( t \right){{B}_{j,n}}\left( t \right)=\frac{\left( \begin{matrix}
   m,  \\
   i  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   n,  \\
   j  \\
\end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix}
   m+n,  \\
   i+j  \\
\end{matrix} \right)}{{B}_{i+j,m+n}}\left( t \right)
\end{equation}
a equação (\ref{BS19}) pode ser reescrita
\begin{equation} \label{BS21}
	\sum\limits_{j=0}^{3}{{{\textbf{D}}_{k,j}}{{B}_{j,3}}\left( t \right)}=\sum\limits_{j=0}^{1}{\sum\limits_{i=0}^{2}{\frac{\left( \begin{matrix}
   1,  \\
   j  \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   2,  \\
   i  \\
\end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix}
   3,  \\
   j+i  \\
\end{matrix} \right)}\left( {{\lambda }_{k,j}}{{\textbf{W}}_{k,i}}+{{\mu }_{k,j}}{{\textbf{A}}_{k,i}} \right)}{{B}_{j+i,3}}\left( t \right)}
\end{equation}
com a notação $\left( u,v \right):=\frac{u!}{v!\left( u-v \right)!}$.

Comparando os coeficientes de ${{B}_{j,3}}\left( t \right)$, $j=0,\ldots ,3$, na Eq.(\ref{BS21}), tem-se
\begin{equation} \label{BS22}
	\begin{array}{rcl}
		{{D}_{k,0}}& = &{{\lambda }_{k,0}}{{\textbf{W}}_{k,0}}+{{\mu }_{k,0}}{{\textbf{A}}_{k,0}}, \\ [1ex]
		{{D}_{k,1}}& = &\frac{2}{3}{{\lambda }_{k,0}}{{\textbf{W}}_{k,1}}+\frac{1}{3}{{\lambda }_{k,1}}{{\textbf{W}}_{k,0}}+\frac{2}{3}{{\mu }_{k,0}}{{\textbf{A}}_{k,1}}+\frac{1}{3}{{\mu }_{k,1}}{{\textbf{A}}_{k,0}}, \\ [1ex]
		{{D}_{k,2}}& = &\frac{1}{3}{{\lambda }_{k,0}}{{\textbf{W}}_{k,2}}+\frac{2}{3}{{\lambda }_{k,1}}{{\textbf{W}}_{k,1}}+\frac{1}{3}{{\mu }_{k,0}}{{\textbf{A}}_{k,2}}+\frac{2}{3}{{\mu }_{k,1}}{{\textbf{A}}_{k,1}}, \\ [1ex]
		{{D}_{k,3}}& = &{{\lambda }_{k,1}}{{\textbf{W}}_{k,2}}+{{\mu }_{k,1}}{{\textbf{W}}_{k,2}}.
	\end{array}
\end{equation}

 Os vetores ${{\textbf{D}}_{k,0}}$ e ${{\textbf{D}}_{k,3}}$, $k=0,1,2$ são conhecidos e pertencem aos planos normais a ${{\textbf{N}}_{k}}$ e ${{\textbf{N}}_{k+1}}$, respectivamente. A determinação de ${{\lambda }_{k,0}}$, ${{\mu }_{k,0}}$, ${{\lambda }_{k,1}}$ e ${{\mu }_{k,1}}$ são feitas de forma imediata a partir da primeira e última expressão da equação (\ref{BS22}). Já os vetores ${{G}_{k,1}}$ e ${{G}_{k,2}}$, $i=0,\ 1,\ 2,$ são obtidos a partir da segunda e terceira expressão da equação (\ref{BS22}), além da derivadas nas direções cruzadas entre as bordas dos elementos triangulares presentes nas equações (\ref{BS09}-\ref{BS11}).

\section{Procedimento para construção de elementos triangulares ${{\textbf{G}}^{\textbf{1}}}$}

Após a apresentação teórica para construção de superfícies suaves ${{G}^{1}}$, nesta seção é detalhado o procedimento prático da construção dos elementos triangulares de grau quatro com continuidade geométrica. De forma resumida, é apresentado na figura \ref{figura06} o fluxograma geral para construção dos elementos triangulares. Nos itens abaixo é detalhado cada etapa. 
\begin{figure}[h]
	\centering
%\scalebox{0.7}{\input{figura06.pdf_tex}}
%\resizebox{75mm}{!}{\input{figura04.pdf_tex}}
\resizebox{0.55\textwidth}{!}{\input{figura06.pdf_tex}
}
%\def\svgwidth{\linewidth}
%\input{figura04.pdf_tex}
\caption{\label{figura06} Fluxograma para a criação de elementos triangulares ${{G}^{1}}$.} 
\end{figure}

\begin{itemize}
%\begin{alineas}

  \item \textbf{Etapa 1: Dados de entrada;} 
	 Nesta etapa são fornecidas as coordenadas geométricas (${{\textbf{Q}}_{1}}$, ${{\textbf{Q}}_{2}}$, ${{\textbf{Q}}_{3}}$) e as normais (${{\textbf{N}}_{1}}$, ${{\textbf{N}}_{2}}$, ${{\textbf{N}}_{3}}$) nos vértices do triângulo como mostrado na figura \ref{figura03}; 
  
  \item \textbf{Etapa 2: Calcular os vetores} $\textbf{V}_{k,j}$ \textbf{e da curva} $\textbf{C}\left( t \right)$; 
	 Nesta etapa é utilizado o teorema \ref{teo1} para ajustar as curvas de Bézier aos pares de pontos $\left( {{\textbf{Q}}_{0}},{{\textbf{Q}}_{1}} \right)$, $\left( {{\textbf{Q}}_{1}},{{\textbf{Q}}_{2}} \right)$ e $\left( {{\textbf{Q}}_{2}},{{\textbf{Q}}_{0}} \right)$, além de determinar os vetores $\textbf{V}_{k,j}$ e $\textbf{C}_{k}\left( t \right)$, com $k,j=0,\ 1,\ 2$ conforme o fluxo apresentado na figura \ref{figura07}.
	\begin{figure}[h]
	\centering
%\scalebox{0.6}{\input{figura07.pdf_tex}}
%\resizebox{75mm}{!}{\input{figura04.pdf_tex}}
\resizebox{0.75\textwidth}{!}{\input{figura07novo.pdf_tex}
}
%\def\svgwidth{\linewidth}
%\input{figura04.pdf_tex}
\caption{\label{figura07} Fluxo de cálculo dos vetores $\textbf{V}_{k,j}$ \textbf e da curva $\textbf{C}\left( t \right)$ .} 
\end{figure}
	
  \item \textbf{Etapa 3: Determinar as curvas} $\frac{d}{dt}\textbf{C}\left( t \right)$ \textbf{e} $\textbf{H}\left( t \right)$;
	 A partir da equação (\ref{BS06}) é calculado $\frac{d}{dt}\textbf{C}\left( t \right)$ e das equações (\ref{BS12}) e (\ref{BS13}) é determinada a curva $\textbf{H}\left( t \right)$. O fluxo para o cálculo desta etapa é apresentado na figura \ref{figura08}.
\begin{figure}[h]
	\centering
	%\scalebox{0.6}{\input{figura08.pdf_tex}}
%\resizebox{75mm}{!}{\input{figura04.pdf_tex}}
\resizebox{0.70\textwidth}{!}{\input{figura08novo.pdf_tex}
}
%\def\svgwidth{\linewidth}
%\input{figura04.pdf_tex}
\caption{\label{figura08} Fluxo de cálculo das curvas $\frac{d}{dt}\textbf{C}\left( t \right)$ e $\textbf{H}\left( t \right)$.} 
\end{figure}

  \item \textbf{Etapa 4: Elevar a ordem da curva} $\textbf{C}_{k}\left( t \right)$;
	O procedimento para elevar a ordem de 3 para 4 o grau da curva de contorno é mostrado na figura \ref{figura09}. 
\begin{figure}[h]
	\centering
	%\scalebox{0.6}{\input{figura09.pdf_tex}}
%\resizebox{75mm}{!}{\input{figura04.pdf_tex}}
\resizebox{0.73\textwidth}{!}{\input{figura09novo.pdf_tex}
}
%\def\svgwidth{\linewidth}
%\input{figura04.pdf_tex}
\caption{\label{figura09} Procedimento para elevação da ordem da curva $\textbf{\textbf{C}}_{k}\left( t \right)$.} 
\end{figure}


  \item \textbf{Etapa 5: Determinar os parâmetros} ${{\lambda }_{k,j}}$ \textbf{e} ${{\mu }_{k,j}}$\textbf{, com} $k=0,\ 1,\ 2$; $j=0,\ 1$;
	O procedimento para o cálculo dos parâmetros ${{\lambda }_{k,j}}$ e ${{\mu }_{k,j}}$ a partir da equação (\ref{BS22}) é explicitamente apresentado na figura \ref{figura10}. 
		\begin{figure}[h]
	\centering
	%\scalebox{0.6}{\input{figura10.pdf_tex}}
%\resizebox{75mm}{!}{\input{figura04.pdf_tex}}
\resizebox{0.73\textwidth}{!}{\input{figura10novo.pdf_tex}
}
%\def\svgwidth{\linewidth}
%\input{figura04.pdf_tex}
\caption{\label{figura10} Cálculo dos parâmetros ${{\lambda }_{k,j}}$ e ${{\mu }_{k,j}}$.} 
\end{figure}
	
  \item \textbf{Etapa 6: Determinar os pontos de Gregory $\textbf{G}_{k,j}$, de controle interno e superfície de Bézier};
	O procedimento, apresentado na figura \ref{figura11}, determina os pontos de Gregory (ver equações \ref{BS09} - \ref{BS11} e \ref{BS22}), de controle interno ${{\textbf{P}}_{112}}$, ${{\textbf{P}}_{121}}$, ${{\textbf{P}}_{211}}$ (ver equações \ref{BS14} - \ref{BS16}), e por fim, é feita a construção do elemento triangular de continuidade ${{G}^{1}}$ (ver equação \ref{BS07}). 
		\begin{figure}[h]
	\centering
	%\scalebox{0.6}{\input{figura11.pdf_tex}}
%\resizebox{75mm}{!}{\input{figura04.pdf_tex}}
\resizebox{0.78\textwidth}{!}{\input{figura11novo.pdf_tex}
}
%\def\svgwidth{\linewidth}
%\input{figura04.pdf_tex}
\caption{\label{figura11} Determinação dos pontos de Gregory $\textbf{G}_{k,j}$.} 
\end{figure}

\end{itemize}		
%\end{alineas}

\section{Auxílio do software ${{\textbf{Blender}}^{\textbf{Tm}}}$ na construção de elementos ${{\textbf{G}}^{\textbf{1}}}$}

Nas figuras \ref{figura06} - \ref{figura11} foram apresentados os procedimentos para a criação de superfícies suave proposto neste trabalho. Dentre as diversas etapas, há uma de primordial importância para a construção eficiente das geometrias com continuidade do plano tangente, que é a etapa 1: entrada de dados. Nesta etapa são exigidas as coordenadas geométricas e os vetores normais nos vértices da malha triangular plana (figura \ref{figura03}), que podem ser de difícil obtenção para geometrias complexas não paramétricas. Para contornar esta dificuldade, o presente trabalho acoplou o software de computação gráfica denominado ${Blender}^{Tm}$ ao programa, desenvolvido na linguagem Fortran, para construção das superfícies ${{G}^{1}}$. 

O ${Blender}^{Tm}$ é um software gráfico de código aberto, escrito na linguagem Pyton, desenvolvido para animação e criação de filmes, além de desenhos animados, sem nenhum objetivo, a princípio, para a análise numérica. A partir da criação de geometrias das mais variadas complexidades no ${Blender}^{Tm}$ é possível extrair deste software as informações de entrada e então seguir todas as etapas descritas nas figuras \ref{figura06} - \ref{figura11}. Cabe salientar, que as coordenadas e os vetores normais são obtidos do programa ${Blender}^{Tm}$ a partir de malhas triangulares de três nós, o que torna a sua aplicação direta para análise numérica limitada às aproximações de grau 1 e sem garantia de continuidade do plano tangente na zona de interface entre os elementos da malha. 

Diante das limitações proporcionadas pelo ${Blender}^{Tm}$ para a análise numérica, a presente formulação de construção de elementos ${{G}^{1}}$ torna ideal ao acoplamento com tal software. A figura \ref{figura14} apresenta o código desenvolvido em Pyton para extrair as informações necessárias para a etapa 1 da presente formulação para construção dos elementos ${{G}^{1}}$.
				\begin{figure}[h]
	\centering
	\scalebox{0.7}{\input{figura14.pdf_tex}}
%\resizebox{75mm}{!}{\input{figura04.pdf_tex}}
%\resizebox{\textwidth}{!}{\input{figura05.pdf_tex}
%}
%\def\svgwidth{\linewidth}
%\input{figura04.pdf_tex}
\caption{\label{figura14} Código fonte, em Pyton, para a extração das coordenadas geométricas e dos vetores normais no ${Blender}^{Tm}$.} 
\end{figure}

\section{Exemplos de aplicação}

Para a verificação do procedimento de criação das superfícies, descrito acima, foram adotados os critérios de continuidade do plano tangente e da representatividade geométrica. 

\subsection{Descrição geométrica}

A seguir são apresentadas as geometrias paramétricas e não paramétricas analisadas. As características geométricas para as superfícies paramétricas toroidal e esférica discretizadas, respectivamente, com 200 e 320 elementos triangulares são apresentadas na figura \ref{figura15}.
				\begin{figure}[h]
	\centering
	%\scalebox{0.8}{\input{figura15.pdf_tex}}
%\resizebox{75mm}{!}{\input{figura04.pdf_tex}}
\resizebox{0.8\textwidth}{!}{\input{figura15.pdf_tex}
}
%\def\svgwidth{\linewidth}
%\input{figura15.pdf_tex}
\caption{\label{figura15} Características geométrica e tipo de aproximação para a construção de geometrias paramétricas auxiliada pelo ${Blender}^{TM}$.} 
\end{figure}
Quando se deseja representar formas presentes na natureza, as geometrias paramétricas tronam-se bastante limitadas e são necessárias a utilização de geometrias não paramétricas complexas. Como aplicação de geometria não paramétrica, este trabalho analisou a continuidade do plano tangente para a geometria de uma cabeça humana (ver figura \ref{figura16}), a qual foi discretizada 8704 elementos triangulares. Esta geometria possui alta complexidade, principalmente, por ter curvas acentuadas e suaves, o que a torna um grande desafio na integração CAD (Computer-Aided Designer) e CAE (Computer-Aided Engineering), principalmente pelo Método dos Elementos de Contorno.
				\begin{figure}[h]
	\centering
	%\scalebox{0.8}{\input{figura16.pdf_tex}}
%\resizebox{75mm}{!}{\input{figura04.pdf_tex}}
\resizebox{0.8\textwidth}{!}{\input{figura16.pdf_tex}
}
%\def\svgwidth{\linewidth}
%\input{figura16.pdf_tex}
\caption{\label{figura16} Características geométrica, número de elementos e de nós para geometrias complexas não paramétrica construída com auxílio do ${Blender}^{TM}$.} 
\end{figure}

\subsection{Continuidade do plano tangente}

Nesta seção é analisado a capacidade que as funções aproximadoras (Bézier ${{G}^{1}}$, Phong, Nagata, NLSA e PN) possuem em representar continuidade dos planos tangentes nas interfaces dos elementos triangulares, ou seja, a capacidade que cada função aproximadora possui em gerar normal única na interface entre os elementos. Para realizar esta análise, é calculado o vetor normal pela equação
\begin{equation} \label{BS23}
	\textbf{N}\left( s,t \right)=\frac{{{\textbf{S}}_{s}}\left( s,t \right)\times {{\textbf{S}}_{t}}\left( s,t \right)}{\left\| {{\textbf{S}}_{s}}\left( s,t \right)\times {{\textbf{S}}_{t}}\left( s,t \right) \right\|}
\end{equation}
para pontos localizados na fronteira entre os elementos.

Dado um ponto na interface entre dois elementos triangulares genéricos (${{\textbf{S}}_{1}}$ e ${{\textbf{S}}_{2}}$), os vetores normais a estes elementos, representado, respectivamente, por ${{\textbf{N}}_{1}}$ e ${{\textbf{N}}_{2}}$ pertencentes a um mesmo ponto na interface destas duas superfícies. Uma vez determinado os vetores normais, via ${{Blender}^{TM}}$ é calculado o cosseno do ângulo formado pelos vetores ${{\textbf{N}}_{1}}$ e ${{\textbf{N}}_{2}}$ por meio da equação (\ref{BS24}). Este procedimento é realizado para diversos pontos nas interfaces dos elementos pertencentes à malha, o que proporciona, assim, diversos valores para o cosseno do ângulo formado pelas normais das superfícies adjacentes.

Desta forma, torna-se necessário o uso de parâmetros estatísticos, tais como, o valor médio (equação \ref{BS25}) e o desvio padrão (equação \ref{BS26}) para analisar o desempenho das funções aproximadoras em representar superfícies suaves.
\begin{equation} \label{BS24}
	\cos \theta ={{\textbf{N}}_{1}}\cdot {{\textbf{N}}_{2}},
\end{equation}
\begin{equation} \label{BS25}
	m\acute{e}dia=\frac{\sum\nolimits_{i=1}^{n}{\cos {{\theta }_{i}}}}{n},
\end{equation}
\begin{equation} \label{BS26}
	DP=\frac{\sqrt{\sum\nolimits_{i=1}^{n}{{{\left( \cos {{\theta }_{i}}-m\acute{e}dia \right)}^{2}}}}}{n-1}.
\end{equation}

Para ilustrar a precisão da função de Bézier ${{G}^{1}}$ em representar geometrias suaves, na figura \ref{figura18} é apresentado o comportamento das componentes do vetor normal (${{n}_{x}}$,${{n}_{y}}$ e ${{n}_{z}}$) para as superfícies paramétricas, tais como, esfera, figura \ref{figura18} (a-c), e toroide, figura \ref{figura18} (d-f).
				\begin{figure}[h]
	\centering
%	\scalebox{0.8}{\input{figura18.pdf_tex}}
%\resizebox{75mm}{!}{\input{figura04.pdf_tex}}
\resizebox{0.9\textwidth}{!}{\input{figura18.pdf_tex}
}
%\def\svgwidth{\linewidth}
%\input{figura18.pdf_tex}
\caption{\label{figura18} Componentes ${{n}_{x}}$, ${{n}_{y}}$ e ${{n}_{z}}$ obtidas pela aproximação de Bézier ${{G}^{1}}$ para geometria esférica (a-c) e toroidal (d-f).} 
\end{figure}

A partir da figura \ref{figura18}, e em detalhes na figura \ref{figura19}, pode ser observado que as imagens apresentam uma única tonalidade de cor em ambos os lados das linhas de interface dos elementos triangulares, ou seja, é mostrado, qualitativamente, a unicidade do vetor normal na borda do elemento. 
				\begin{figure}[h]
	\centering
	%\scalebox{0.60}{\input{figura19.pdf_tex}}
%\resizebox{75mm}{!}{\input{figura04.pdf_tex}}
\resizebox{0.55\textwidth}{!}{\input{figura19.pdf_tex}
}
%\def\svgwidth{\linewidth}
%\input{figura19.pdf_tex}
\caption{\label{figura19} Detalhe das componentes do vetor normal para a esfera (a-c) e toroide (d-f). Componente ${{n}_{x}}$, (a) e (d), componente ${{n}_{y}}$, (b) e (e) e componente ${{n}_{z}}$, (c) e (f).} 
\end{figure}

Outras funções aproximadoras tais como, Nagata \cite{Nagata2005}, NLSA \cite{Barrera2002}, PN \cite{Vlachos2001} e Phong tesselation \cite{Boubekeur2008} são bastante difundidas na literatura \cite{Boshiroli2011} e possuem capacidade semelhantes às apresentadas na presente formulação quanto à construção de geometrias. No entanto, a capacidade de construção de superfícies suaves é analisada e comparada com a formulação presente (Bézier ${{G}^{1}}$).

As discretizações e os parâmetros estatísticos para as aproximações presentes na literatura \cite{Boshiroli2011} e no presente trabalho (chamadas de Bézier ${{G}^{1}}$) são apresentadas na tabela \ref{figura20}. Diante das informações presentes na tabela \ref{figura20}, pode-se observar a superioridade, significativa, da função Bézier ${{G}^{1}}$ frente as demais outras funções aproximadoras. Dentre estas funções, verifica que os triângulos de Nagata e PN possuem representatividade da continuidade do plano tangente superior aos triângulos Phong e NLSA. Devido a aplicação crescente dos triângulos de Nagata para a análise numérica (\cite{Neto2013}, \cite{Neto2010}, \cite{Hama2008}), é chamada a atenção para a superioridade, referente a capacidade de construção de superfícies suaves da função do presente trabalho frente à aproximação de Nagata.
\begin{table} %[htb]
%\footnotesize
\caption{\label{figura20} Parâmetros estatísticos para as aproximações Phong, Nagata, NLSA, PN e Bézier ${{G}^{1}}$ (presente trabalho).}
%[Níveis de investigação]{Níveis de investigação.}
%\label{tab-nivinv}
\begin{center}
				%\scalebox{0.65}{\input{figura20.pdf_tex}}
				%\resizebox{75mm}{!}{\input{figura20.pdf_tex}}
				%\resizebox{\textwidth}{!}{\input{figura20.pdf_tex}
				%}
				\def\svgwidth{\linewidth}
				\resizebox{0.75\textwidth}{!}{\input{figura20.pdf_tex}
				}
				%\input{figura20.pdf_tex}
				%\includegraphics[scale=0.4]{cap_AproximacaoG1/Tabela_descricao_geometrica.pdf}
\end{center}
%\legend{Fonte: \citeonline{van86}}
\end{table}

Nas figuras \ref{figura21} e \ref{figura22} são apresentadas, em vista frontal e lateral, respectivamente, as variações das componentes normais (${{n}_{x}}$,${{n}_{y}}$,${{n}_{z}}$) para a geometria de uma cabeça obtida pela aproximação Bézier ${{G}^{1}}$ e com os dados de entrada (coordenadas e normais nodais) obtido pelo acoplamento da formulação com o ${{Blender}^{Tm}}$. A partir do detalhe ampliado (nariz) presente na figura \ref{figura22}, pode ser observado uma única tonalidade de cor na região (linha) de interseção entre elementos da malha, ou seja, obtêm-se uma única normal tanto calculado pelo elemento da esquerda quanto pelo o da direita. 
				\begin{figure}[h]
	\centering
%	\scalebox{0.6}{\input{figura21.pdf_tex}}
%\resizebox{75mm}{!}{\input{figura04.pdf_tex}}
\resizebox{0.9\textwidth}{!}{\input{figura21.pdf_tex}
}
%\def\svgwidth{\linewidth}
%\input{figura21.pdf_tex}
\caption{\label{figura21} Geometria cabeça (vista frontal). As imagens a-c mostram, respectivamente, as componentes ${{n}_{x}}$,${{n}_{y}}$ e ${{n}_{z}}$  obtidas pela aproximação de Bézier ${{G}^{1}}$.} 
\end{figure}

				\begin{figure}[h]
	\centering
%	\scalebox{0.8}{\input{figura20.pdf_tex}}
%\resizebox{75mm}{!}{\input{figura04.pdf_tex}}
%\resizebox{\textwidth}{!}{\input{figura20.pdf_tex}
%}
\def\svgwidth{\linewidth}
\input{figura22.pdf_tex}
\caption{\label{figura22} Geometria cabeça via aproximação Bézier ${{G}^{1}}$ (presente formulação). Componentes ${{n}_{x}}$,${{n}_{y}}$ e ${{n}_{z}}$, imagens a-c. Detalhes ampliados das componentes do vetor normal, imagens d-f.} 
\end{figure}

A análise quantitativa foi realizada para uma discretização com 8704 elementos triangulares de Bézier ${{G}^{1}}$. Nesta análise foram calculados os seguintes parâmetros estatísticos, referente ao cosseno do ângulo formado pelas normais na interface dos elementos: valor mínimo = $0,9999982713$, valor máximo = $1,0000000000$, valor médio = $0,9999999999$ e desvio padrão = $6,425165 ({{10}^{-9}})$. A partir destes valores é observado a excelente representatividade da continuidade do plano tangente pela aproximação Bézier ${{G}^{1}}$ que apresenta valor mínimo, médio e desvio padrão com ordem de grandeza do erro, em relação ao valor unitário, de ${{10}^{-6}}$, ${{10}^{-10}}$ e ${{10}^{-9}}$, respectivamente.

\subsection{Representação geométrica}

Após realizada a análise da continuidade do plano tangente na interface entre os elementos triangulares, nesta seção é verificada a capacidade em representar geometrias pela formulação, denominada, Bézier ${{G}^{1}}$. Nesta verificação, é realizado um estudo comparativo das aproximações Phong, Nagata, NLSA e PN com a função Bézier ${{G}^{1}}$.

Nas figuras \ref{figura24} e \ref{figura25} é mostrado o comportamento do parâmetro estatístico valor médio da distância entre a geometria construída pelas funções aproximadoras e a geometria analítica, à medida que é variada a quantidade de elementos. Devido a este referencial analítico, o presente trabalho realizou estudo para diversas geometrias paramétricas, entretanto, devido à sua semelhança de resultados, são apresentadas apenas as comparações com as geometrias esférica e toroidal (figura \ref{figura15}). 
				\begin{figure}[h]
	\centering
%\scalebox{0.7}{\input{figura24.pdf_tex}}
%\resizebox{125mm}{!}{\input{figura24.pdf_tex}}
\resizebox{0.90\textwidth}{!}{\input{figura24.pdf_tex}
}
%\def\svgwidth{\linewidth}
%\input{figura24.pdf_tex}
\caption{\label{figura24} Valor médio da distância entre a superfície esférica analítica e a gerada pelas funções aproximadoras.} 
\end{figure}

				\begin{figure}[h]
	\centering
%	\scalebox{0.70}{\input{figura25.pdf_tex}}
%\resizebox{75mm}{!}{\input{figura25.pdf_tex}}
\resizebox{0.90\textwidth}{!}{\input{figura25.pdf_tex}
}
%\def\svgwidth{\linewidth}
%\input{figura25.pdf_tex}
\caption{\label{figura25} Valor médio da distância entre a superfície toroidal analítica e a gerada pelas funções aproximadoras.} 
\end{figure}

Para a geometria esférica, figura \ref{figura24} e em maior detalhe na figura \ref{figura24}-b, observa-se que para uma quantidade de 32 a 1300 elementos, os triângulos de Nagata e os da presente formulação (Bézier ${{G}^{1}}$) demostram melhores resultados, enquanto a aproximação Phong apresenta o pior desempenho, com relação à distância média, quando comparado às demais aproximações na representatividade da geometria.

Na figura \ref{figura25}-b é apresentado, em detalhe, para uma quantidade de 50 a 720 elementos triangulares, melhor desempenho das aproximações Bézier ${{G}^{1}}$ e de Nagata, enquanto que a função Phong, novamente, apresenta pior desempenho para o valor da distância média.

Diante do exposto, tem-se que a função aproximadora apresentada neste trabalho (denominada de Bézier ${{G}^{1}}$), cuja principal finalidade é construir superfícies suaves, possui idêntica capacidade em representar geometrias que a função interpoladora de Nagata.

\section{Conclusão}

Com o objetivo de modelar computacionalmente geometrias suaves, este trabalho apresentou uma técnica de construção de elementos triangulares com continuidade geométrica ${{G}^{1}}$, ou seja, construção de elementos que possuem normal única nos pontos de interseção entre os elementos da malha. Esta característica única da normal é de grande importância na modelagem numérica, principalmente no uso do Método dos Elementos de Contorno, pois evita a necessidade de colocação de nós duplos para representar suavidades, o que proporciona uma maior facilidade tanto no pré quanto no pós processamento de estruturas com geométricas complexas.

Para o sucesso da técnica apresentada (Bézier ${{G}^{1}}$), são necessárias, como dado de entrada, as coordenadas geométricas e as normais dos nós, nos vértices da malha triangular. A vantagem na utilização do elemento Bézier ${{G}^{1}}$ é devido a necessidade, apenas, de criar malha formada por elementos planos, pois a função aproximadora transforma estes elementos triangulares planos em curvos. Por outro lado, é desafiador a obtenção do vetor normal para geometrias complexas. Assim, para auxiliar a obtenção desta informação foi utilizado o software de computação gráfica ${{Blender}^{TM}}$. 

O presente trabalho acoplou, com sucesso, o software gráfico ao programa desenvolvido, em FORTRAN, para a criação de superfícies suaves ${{G}^{1}}$, a partir do procedimento descrito acima e, como consequência, proporcionou a possibilidade de utilização em análise numérica. Como exemplo, foram apresentados resultados tanto para geometrias paramétricas (esfera e toroide) quanto para geometria não paramétrica (cabeça). A partir da análise da continuidade do plano tangente na interface entre os elementos e da capacidade de representar formas geométricas, pôde ser observado excelente eficiência da função Bézier ${{G}^{1}}$ em representar geometrias suaves independente de sua complexidade e sem perder a eficiência na representatividade da geometria.

\begin{abstract}
{\bf Abstract}. To use of numerical methods, mainly with regard to the Boundary Element Methods, the construction of smooth surface is one of the fundamental requirements for the computational modeling of solids. In addition to numerical methods, many other application fields, such as computer animation models and reconstruction of medical images, have the geometric continuity ${{G}^{1}}$ as fundamental condition for generating smooth surfaces. In this paper, the technique to construction of the smooth geometries from boundary curves is used. In this construction, the geometric coordinates of vertices of the triangular patches, as well as their normal, are required. Since these information are not immediate, especially for the normal vector, this paper uses the computer graphics software named BlenderTM for vanish this gap on the acquisition of the input data. Thus, the procedure for creating the triangular patches with continuity ${{G}^{1}}$ and algorithm for obtaining of initial information are presented. The excellent efficiency in imposing of the smoothness and accuracy in geometrical representation is observed for parametric and nonparametric complex surfaces.
\end{abstract}

\bibliographystyle{ieeetr}
\bibliography{Modelo-TEMA}

\end{document}
